Математическое ожидание – одна из основных характеристик случайной величины, позволяющая оценить среднее значение случайного события. В контексте непрерывных случайных величин математическое ожидание вычисляется интегралом. Важно понимать, что математическое ожидание имеет смысл только для случайных величин, имеющих вероятностную плотность.
Для того чтобы найти математическое ожидание непрерывной случайной величины, нужно выполнить несколько шагов. Во-первых, необходимо определить вероятностную плотность распределения случайной величины. Значение вероятностной плотности должно быть неотрицательным на всей числовой оси и интегрироваться до единицы.
Во-вторых, для вычисления математического ожидания нужно умножить значение случайной величины на соответствующую вероятностную плотность и проинтегрировать это произведение на всем пространстве значений случайной величины. Математическое ожидание представляет собой интеграл от произведения значения случайной величины на вероятностную плотность.
Что такое математическое ожидание?
Для дискретной случайной величины математическое ожидание можно вычислить с помощью формулы суммирования: умножить каждое возможное значение случайной величины на его вероятность и сложить все полученные произведения. Такая формула представляется в виде:
| Значение случайной величины | Вероятность |
|---|---|
| x1 | p1 |
| x2 | p2 |
| ... | ... |
| xn | pn |
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется с использованием интеграла от функции плотности вероятности. Такая формула представляется в виде:
| Предел интегрирования | Значение функции плотности вероятности |
|---|---|
| a | f(x) |
| b | f(x) |
Где a и b – границы интеграла, f(x) – функция плотности вероятности.
Математическое ожидание позволяет узнать, какое значение мы можем ожидать в результате случайного эксперимента, и является важной характеристикой случайной величины.
Определение и примеры
Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(x), математическое ожидание может быть вычислено следующим образом:
| Формула | Описание |
|---|---|
| Математическое ожидание | $$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$ |
Где интеграл берется по всей области значений X.
Например, рассмотрим случайную величину X, которая представляет собой время ожидания автобуса на остановке. Плотность вероятности для X может быть задана функцией:
| X | f(x) |
|---|---|
| 0 | 0.2 |
| 5 | 0.4 |
| 10 | 0.3 |
| 15 | 0.1 |
Для вычисления математического ожидания времени ожидания автобуса можно использовать формулу:
$$E(X) = 0 \cdot 0.2 + 5 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.3 + 15 \cdot 0.1 = 7.5$$
Таким образом, математическое ожидание времени ожидания автобуса на остановке равно 7.5 минуты.
